Сколькими способами можно переставить буквы в слове «кофеварка»

Слово «кофеварка» состоит из 9 букв: к, о, ф, е, в, а, р, к, а. Среди них есть повторяющиеся: буква «к» встречается дважды (позиции 1 и 8) и буква «а» — тоже дважды (позиции 6 и 9). Остальные буквы — о, ф, е, в, р — встречаются по одному разу. Именно наличие повторов определяет, какую формулу применять.

Если бы все 9 букв были различны, ответ был бы 9! = 362 880 перестановок. Но перестановка двух одинаковых букв «к» между собой не даёт нового слова, то же самое относится к двум буквам «а». Поэтому общее число делится на число внутренних перестановок каждой группы одинаковых букв.

Итоговый расчёт: 9! / (2! × 2!) = 362 880 / 4 = 90 720. Именно столько различных способов существует переставить буквы в слове «кофеварка».

Разбор слова: сколько букв и какие повторяются

Первый шаг любой задачи на перестановки — аккуратно выписать состав слова и посчитать кратность каждой буквы. Для «кофеварки» получается такая картина:

Сумма по столбцу кратностей: 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 = 9 — сходится с длиной слова. Эта проверка обязательна: если сумма не совпадает с числом букв, значит, при подсчёте пропущена или лишняя посчитана какая-то буква, и дальнейший расчёт будет неверным.

Частая ошибка на этом этапе — не заметить вторую «к» в конце слова или вторую «а». В слове «кофеварка» обе повторяющиеся буквы стоят не рядом, а на расстоянии, поэтому их легко пропустить при беглом чтении.

Формула перестановок с повторениями

Когда среди n элементов есть группы одинаковых, применяется формула перестановок с повторениями: n! / (n₁! × n₂! × … × nₖ!), где n₁, n₂ и так далее — количества одинаковых элементов каждого типа.

Для слова «кофеварка» формула принимает вид: 9! / (2! × 2!). Единицы в знаменателе (1! для букв о, ф, е, в, р) по правилам записывать не обязательно, так как 1! = 1 и не влияет на результат, но при обучении их полезно выписывать, чтобы не потерять буквы при проверке.

Логика деления проста. Представьте, что две буквы «к» временно помечены номерами: к₁ и к₂. Тогда все 9 букв различны и перестановок 9!. Но каждое «слово» учтено дважды — с порядком к₁к₂ и к₂к₁. Делим на 2!. Та же операция для пары букв «а» даёт ещё одно деление на 2!.

Пошаговый расчёт для слова «кофеварка»

Вычисление удобно вести в три шага, чтобы контролировать арифметику на каждом этапе.

1. 1
   Посчитайте все буквы слова: к-о-ф-е-в-а-р-к-а, итого 9.
2. 2
   Найдите повторяющиеся буквы и их кратности: «к» — 2 раза, «а» — 2 раза.
3. 3
   Вычислите 9! = 362 880.
4. 4
   Вычислите знаменатель: 2! × 2! = 2 × 2 = 4.
5. 5
   Разделите: 362 880 / 4 = 90 720.
6. 6
   Проверьте: сумма кратностей равна 9, результат — целое число.

Раскроем факториал: 9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362 880. Знаменатель: 2! × 2! = 2 × 2 = 4. Деление: 362 880 / 4 = 90 720.

Можно считать короче, сокращая до перемножения: 9! / (2! × 2!) = (5 × 6 × 7 × 8 × 9) / 2 × (4 × 3 × 2 × 1) / 2… но на практике надёжнее сначала вычислить 9! целиком — значение факториалов до 10! полезно просто помнить или держать под рукой.

Проверка результата альтернативным способом

Убедиться в ответе можно через размещения. Сначала выберем позиции для двух букв «к» из 9 мест: это число сочетаний C(9,2) = 36. Затем из оставшихся 7 позиций выберем места для двух букв «а»: C(7,2) = 21. Оставшиеся 5 различных букв (о, ф, е, в, р) расставляются по 5 свободным местам: 5! = 120 способов.

Перемножаем: 36 × 21 × 120 = 36 × 2520 = 90 720. Результат совпал с первым методом — это и есть признак корректного решения. Совпадение двух независимых способов подсчёта практически исключает арифметическую ошибку.

Контрольные точки

Как проверить результат

Сумма кратностей всех букв

Норма

Равна длине слова (9)

Тревожный признак

Сумма больше или меньше 9 — буква пропущена или посчитана дважды

Итог деления n! на знаменатель

Норма

Целое число

Тревожный признак

Дробное число — ошибка в кратностях или арифметике

Пересчёт через сочетания C(9,2)·C(7,2)·5!

Норма

Даёт те же 90 720

Тревожный признак

Результаты двух методов расходятся

Типичные ошибки при решении подобных задач

Самая распространённая ошибка — проигнорировать повторения и ответить 9! = 362 880. Такой ответ завышен ровно в 4 раза, потому что каждое слово посчитано четырежды: два варианта порядка букв «к» умножаются на два варианта порядка букв «а».

Вторая ошибка — делить только на один 2!, учитывая одну пару повторов и забыв вторую. Тогда получается 181 440 — тоже неверно. Третья ошибка — вычесть «лишние» перестановки вместо деления. Комбинаторные дубликаты устраняются именно делением, а не вычитанием, потому что каждая итоговая расстановка представлена в полном списке равным числом копий.

Как меняется ответ при других условиях

Если задачу переформулировать, меняется и метод. Например, если требуется, чтобы две буквы «к» стояли рядом, их склеивают в один условный блок. Тогда переставляются 8 объектов (блок «кк» плюс о, ф, е, в, а, р, а), среди которых повторяется только «а»: 8! / 2! = 20 160 способов.

Если, наоборот, спрашивают число перестановок, где обе «к» не стоят рядом, из общего числа вычитают «склеенный» случай: 90 720 − 20 160 = 70 560. Такие модификации — стандартный приём на экзаменах, и они всегда строятся от базового ответа 90 720.

Сравнение вариантов условия

Все перестановки без ограничений

9!/(2!·2!) = 90 720. Базовая формула перестановок с повторениями.

Обе буквы «к» стоят рядом

Склейка «кк» в один блок: 8!/2! = 20 160. Подходит, когда задано условие соседства.

Буквы «к» не рядом

90 720 − 20 160 = 70 560. Метод дополнения: из всех вычитаем «плохие» варианты.

Где пригодится этот навык

Перестановки с повторениями встречаются не только в школьных задачах про слова. Тот же расчёт нужен при подсчёте вариантов кодов с повторяющимися символами, при оценке числа анаграмм, в задачах теории вероятностей, где вероятность события считается как отношение благоприятных перестановок к общему их числу.

Освоив схему «посчитать буквы — найти кратности — применить формулу — проверить вторым методом», вы сможете решить аналогичную задачу для любого слова: «математика», «перестановка», «кофемолка» — алгоритм не меняется, меняются только числа.

Частые вопросы

Сколько букв в слове «кофеварка»?

Девять букв: к, о, ф, е, в, а, р, к, а. Из них семь позиций занимают уникальные вхождения, а буквы «к» и «а» встречаются по два раза каждая.

Почему нельзя просто ответить 9!?

Потому что 9! считает все перестановки так, будто все буквы различны. Перестановка двух одинаковых букв «к» местами не создаёт нового слова, как и перестановка двух «а», поэтому результат нужно разделить на 2! за каждую повторяющуюся группу.

Чему равен факториал 9?

9! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 362 880. После деления на 2! × 2! = 4 получается 90 720.

Как решить задачу, если повторяющихся букв три и больше?

Формула та же: делим факториал длины слова на произведение факториалов всех кратностей. Например, для слова с тремя одинаковыми буквами добавляется деление на 3! = 6.

Как проверить ответ без калькулятора?

Используйте второй метод: выберите позиции для повторяющихся букв через сочетания C(9,2) = 36 и C(7,2) = 21, а остальные буквы расставьте 5! = 120 способами. Произведение 36 × 21 × 120 = 90 720 подтверждает основной расчёт.

Изменится ли ответ, если считать перестановки с фиксированной первой буквой?

Да. Если, например, первая буква зафиксирована как «о», переставляются оставшиеся 8 букв с двумя парами повторов: 8!/(2!·2!) = 10 080 способов.